3D成像機器視覺基礎知識（四）張正友標定方法（張氏標定法）

正文

張正友標定方法是用於(yu) 求解相機內(nei) 參和畸變係數的經典方法。

我們(men) 以表示像素坐標，以表示世界坐標。張氏標定法利用棋盤格標定板進行標定。

利用相應的圖像檢測算法可以得到每一個(ge) 角點的像素坐標。同時，張正友標定法規定，世界坐標係固定於(yu) 棋盤格上，則棋盤格上的

任意一點 。因此，角點的像素坐標 對應的世界坐標係下的。利用這一關(guan) 係求解得出相機的內(nei) 參矩陣，外參矩陣和畸變參數。

張正友標定法求解內(nei) 參矩陣和外參矩陣

先後思路：求解內(nei) 參矩陣和外參矩陣的積-->求解內(nei) 參矩陣-->求解外參矩陣。

單點無畸變相機成像模型為(wei) ：

其中為(wei) 尺度因子； 是像素坐標的齊次坐標；是相機的內(nei) 參矩陣，包含仿射變換和透視投影；是外參矩陣，包含剛體(ti) 旋轉矩陣和平移變換矩陣；是世界坐標的齊次坐標。

因為(wei) 式可簡化為(wei) ：

其中，是旋轉矩陣的前兩(liang) 列。同時為(wei) 了簡便將內(nei) 參矩陣記為(wei)  

對於(yu) 不同圖片為(wei) 定值；對於(yu) 同一張圖片為(wei) 定值，外參矩陣為(wei) 定值；對於(yu) 同一張圖片上的同一點，為(wei) 定值，外參矩陣

為(wei) 定值，尺度因子為(wei) 定值。

求解內(nei) 參矩陣和外參矩陣的積

將內(nei) 參矩陣和外參矩陣的積記為(wei) ，根據式，則有：

解上式可消去尺度因子，得：

 

由於(yu) 尺度因子已經被消掉，上式對於(yu) 同一張圖片上的角點全部成立。

至此，角點像素坐標和對應的角點世界坐標係下坐標都是已知的。

當圖片標定角點數量大於(yu) 計算所需時，利用最小二乘法回歸最佳的矩陣。

至此，內(nei) 參矩陣和外參矩陣的積已經求出。

求解內(nei) 參矩陣

已知矩陣；同時和是旋轉矩陣的兩(liang) 列，存在單位正交關(guan) 係。於(yu) 是有正交約束方程：

 

且，由於(yu) 和的關(guan) 係，可知：

 

帶入可得：

 

令 ，則為(wei) 對稱矩陣。可以先求出矩陣，再求出內(nei) 參矩陣。

同時，令：

則：

 

 

注意：由於(yu) 為(wei) 對稱矩陣，部分元素出現了兩(liang) 次。

式可化為(wei) ：

 

求解：

令，

 

則：， 式可化為(wei) ：

即：

其中，矩陣中的所有元素由 的元素構成，且已知，因此已知。

此時，我們(men) 隻要求解出向量，即可得到矩陣。每張標定板圖片可以提供一個(ge) 的約束關(guan) 係，該約束關(guan) 係含有兩(liang) 個(ge) 約束方程。但是，向量有6個(ge) 未知元素。因此，單張圖片提供的兩(liang) 個(ge) 約束方程是不足以解出來向量。因此，我們(men) 隻要取3張標定板照片，得到3個(ge) 的約束關(guan) 係，即6個(ge) 方程，即可求解向量。當標定板圖片的個(ge) 數大於(yu) 3時（事實上一般需要15到20張標定板圖片），可采用最小二乘法擬合最佳的向量，並得到矩陣。

根據式中的矩陣的元素和相機內(nei) 參的對應關(guan) 係，可以得到：

可以得出相機的內(nei) 參矩陣：

求解外參矩陣

已知：；同時，我們(men) 已經求解得到了矩陣（對於(yu) 同一張圖片相同，對於(yu) 不同的圖片不同）、矩陣（對於(yu) 不同的圖片

都相同）。通過公式：，即可求得每一張圖片對應的外參矩陣。