築基：斯坦福 線性動力係統導論——矩陣運算
1矩陣運算
●置，和，差，數乘
●矩陣乘法，矩陣-向量積
●矩陣求逆
2矩陣轉置(matrix transpose)
m X n的矩陣A的轉置，記為(wei) AT或A’，A的轉置矩陣大小為(wei) n X m
A的行和列都顛倒過來就是AT，例子：
●轉置將行向量變成列向量，反之亦然
●(AT)T=A
3矩陣加法&矩陣減法
如果矩陣A和矩陣B大小都為(wei) m X n，A+B通過對應元素相加完成，例子：
矩陣減法類似：
（注意，根據此處語義(yi) ，單位矩陣I的大小為(wei) 2 X 2）
4矩陣加法的特性
●交換律：A+B=B+A
●結合律：(A+B)+C=A+(B+C),所以可以寫(xie) 為(wei) A+B+C
●A+0=0+A=A;A-A=0
●(A+B)T=AT+BT
5純量乘法(Scalar multiplication)
一個(ge) 數(標量，或純量)與(yu) 一個(ge) 矩陣相乘，通過這個(ge) 數與(yu) 矩陣內(nei) 的每一個(ge) 元素相乘完成
數乘將標量和矩陣毗鄰表示或者用“·”連接表示：
●(α+β)A=αA+βA; (αβ)A=(α)(βA)
●α(A+B)=αA+αB
●0·A=0; 1·A=A
6矩陣乘法
如果A大小為(wei) m X p，B大小為(wei) p X n，則可令C=AB，C的大小為(wei) m X n
矩陣A和矩陣B能相乘的前提是A的列數必須等於(yu) B的行數
7例子
例1：
例2：
矩陣乘法一般是不可交換的，即AB一般不等於(yu) BA
8矩陣乘法的特性
●0A=0，A0=0(此處的0可以是標量，也可以是矩陣)
●IA=A，AI=A
●(AB)C=A(BC),也可寫(xie) 為(wei) ABC
●α(AB)=(αA)B,α是標量
●A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
●(AB)T=BTAT
9矩陣-向量積
矩陣乘法非常重要的特例是：y=Ax
●A是m X n矩陣
●x是n-向量
●y是m-向量
y=Ax可被認為(wei) 是
●一個(ge) 將n-向量轉換為(wei) m-向量的函數
●一組將x和y聯係起來的m個(ge) 線性方程
10內(nei) 積
當ν是含n個(ge) 元素的行向量，ω是含n個(ge) 元素的列向量時，νω就有意義(yi) ，且是一個(ge) 大小為(wei) 1 X 1的標量：
元素數相同的向量x和y，xTy是標量，稱為(wei) x和y的內(nei) 積或點積，記為(wei)
11矩陣冪
當矩陣A是方陣的時候，積AA有意義(yi) ，通常記為(wei) A2，k個(ge) A相乘記為(wei) Ak
按照慣例，A0=I
AkAl=Ak+l
12矩陣求逆
如果矩陣A是方陣，存在方陣F使得FA=I，則
●F稱為(wei) A的逆，記為(wei) A-1
●矩陣A稱為(wei) 可逆的或非奇異的
如果A不存在逆，則稱為(wei) 奇異的或不可逆的
AA-1=I
A的負數冪定義(yi) 為(wei) A-k=(A-1)k
13例子
例1：
例2：
沒有逆。假設其存在逆，則有
而滿足a-2b=1和-a+2b=0的a,b無解
14逆的特性
●(A-1)-1=A,即逆的逆是原矩陣(假設A是可逆的)
●(AB)-1=B-1A-1(假設A和B都可逆）
●(AT)-1=(A-1)T(假設A是可逆的)
●I-1=I
●(αA)-1=(1/α)A-1(α≠0) (假設A是可逆的)
●如果y=Ax，x∈Rn,A是可逆的，則x=A-1y:
15 2 X 2矩陣的逆
知道2 X 2矩陣的逆的一般公式是有用的：
ad-bc≠0（如果ad-bc=0，則矩陣式奇異的）
參考文獻：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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