線性方程和矩陣
線性函數
線性方程
求解線性方程
築基：斯坦福 線性動力係統導論——線性方程和矩陣
1線性方程和矩陣
●線性函數
●線性方程
●求解線性方程
2線性函數
函數f將n-向量映射到m-向量是線性的前提為(wei) ：
●放縮(scaling):對任意n-向量x，任意放縮比α，有f(αx) = αf(x)
●疊加(superposition):對任意n-向量u和v,f(u + v) = f(u) + f(v)
例子：
驗證其縮放特性：
3矩陣乘法和線性函數
一般情形：f(x) = Ax,其中A是m X n矩陣
●放縮：f(αx) = A(αx) = αAx = αf(x)
●疊加：f(u + v) = A(u+v) = Au + Av = f(u) + f(v)
因此，矩陣乘法是一個(ge) 線性函數
相反的，每一個(ge) 線性函數y=f(x),其中y是一個(ge) m-向量，x是一個(ge) n-向量，可以表示成y=Ax，矩陣A大小為(wei) mXn
當x= ej的時候，可以從(cong) Aij=yi得到A的係數
4線性函數的組成
假設
m-向量是n-向量的一個(ge) 線函數，即，y=Ax，其中A是mXn矩陣
p-向量z是y的一個(ge) 線性函數，即z=By,其中B是pXm矩陣
則，z是x的一個(ge) 線性函數，且z=By=(BA)x
所以矩陣乘法對應線性函數的組成，即某些變量的線性函數的線性函數
5線性方程
如果方程兩(liang) 邊都由包含xi的倍數以及常數的和組成，那麽(me) 關(guan) 於(yu) 變量x1,…,xn的方程是線性的，例：
是關(guan) 於(yu) x1,x2,x3的線性方程
任意關(guan) 於(yu) 變量x1,…,xn的m個(ge) 線性方程的集合都可以由矩陣方程來表示
其中，A是一個(ge) m X n的矩陣，b是一個(ge) m-向量
6例子
關(guan) 於(yu) 3個(ge) 變量x1,x2,x3的兩(liang) 個(ge) 方程
步驟1：重寫(xie) 方程，讓變量在左邊，每個(ge) 方程變量的順序一致，沒有的用0xn代替；常數項放在方程右邊：
(每一行是一個(ge) 方程)
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步驟2：將方程重寫(xie) 為(wei) 一個(ge) 矩陣方程：
A的第i行是第i個(ge) 方程的係數
A的第j列是方程的xj的係數
b的第i項是第i個(ge) 方程的常數項
8求解線性方程
假設有n個(ge) 變量x1,…,xn的n個(ge) 方程，寫(xie) 成矩陣形式Ax=b,則A是一個(ge) n X n矩陣，b是一個(ge) n-向量
假設A是可逆的，即，它的逆A-1存在
在Ax=b兩(liang) 邊同時左乘A-1:
左邊簡化為(wei)
從(cong) 而線性方程被求解為(wei) ：
注意，手算求解x=A-1b是工作量相當大的，但是使用計算機就很快。
9當矩陣A不可逆，即A的逆不存在時
●一個(ge) 或多個(ge) 方程是冗餘(yu) 的（即這些冗餘(yu) 方程可以由其它的方程得到）
●方程組是前後矛盾或者相互矛盾的
實際上：A不可逆意味著我們(men) 構建了一個(ge) 錯誤的方程組，或者方程數不夠
10實際求解線性方程
在計算機上求解Ax=b(即，計算x=A-1b)，我們(men) 不計算A-1，然後將其與(yu) b相乘(當然這樣做也是可以的)
實際操作是通過特殊的方法直接計算x=A-1b（在數值線性代數裏研究）
用稀疏矩陣求解方程
在許多国产成人在线观看免费网站中A有許多或幾乎所有的項是0，這時稱其為(wei) 稀疏的。計算機求解稀疏線性方程特別高效。
參考文獻：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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