Lecture 2
線性函數和例子
線性方程和函數
工程例子
解釋
築基：斯坦福 線性動力係統導論——第二課
1Lecture 2 線性函數和例子
●線性方程和函數
●工程例子
●解釋
2線性方程
考慮一個(ge) 線性方程描述的係統
可以寫(xie) 成y=Ax的矩陣形式
3線性函數
函數f : Rn → Rm是線性的，當
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y∈Rn
f(αx) = αf(x), ∀x∈Rn∀α∈R
4矩陣乘法函數
●考慮函數f : Rn → Rm，f(x)=Ax,其中A∈Rm×n
●矩陣乘法函數是線性的
●逆命題也成立：任何線性函數f : Rn → Rm 可以寫(xie) 為(wei)
f(x) = Ax ，A∈Rm×n
●通過矩陣乘法唯一表示：對任意的線性函數f，對於(yu) 所有的x滿足f(x)=Ax，存在唯一的矩陣A
5y=Ax的解釋
●y代表測量或觀察，x是需要確定的未知
●x是輸入或行為(wei) ，y是輸出或結果
●y=Ax定義(yi) 了一個(ge) 函數或變換，其將x∈Rn 映射到y∈Rm
9aij的解釋
aij是從(cong) 第j個(ge) 輸入(xj)到第i個(ge) 輸出(yi)的增益係數
所以，
●A的第i行涉及第i個(ge) 輸出
●A的第j列涉及第j個(ge) 輸入
●a27=0意味著第2個(ge) 輸出(y2)不取決(jue) 於(yu) 第7個(ge) 輸入(x7)
●|a31|>>|a3j|，當j≠1意味著y3僅(jin) 僅(jin) 取決(jue) 於(yu) x1
●|a52|>>|ai2|，當i≠5，意味著x2主要影響y5
●當A是下三角矩陣，即當i ●當A是對角矩陣時，即i≠j時，aij=0，意味著第i個(ge) 輸出隻取決(jue) 於(yu) 第i個(ge) 輸入 10線性彈性結構 ●xj是作用在某個(ge) 節點上的外部施加力，方向固定 ●yi(很小)是某個(ge) 節點在外部施加力下產(chan) 生的撓曲，方向固定 （考慮到x,y都很小），可以得到y≈Ax ●aij給定了在j處每單位力(m/N)產(chan) 生的撓曲i 11剛體(ti) 上的合力/扭矩 ●xj是施加在某一點/方向/軸上的外部力/扭矩 ●y∈R6 是剛體(ti) 上產(chan) 生的合力&扭矩 （y1,y2,y3是x-,y-,z-分量的合力， y4,y5,y6是x-，y-，z-分量的合扭矩） ●有y=Ax ●A取決(jue) 於(yu) 幾何形態(相對於(yu) 重心CG施加的力和扭矩) ●第j列給出單位力/力矩的合力合扭矩 12線性靜態電路 電阻、線性依賴(被控製的)源和獨立源的連接 ●xj是第j個(ge) 獨立源 ●yi是一些電路變量(電壓，電流) ●有y=Ax ●如果xj是電流，yi是電壓，A則稱為(wei) 阻抗或電阻矩陣 13在外部力作用下物質的最終位置/速度 ●單位質量物質，在t=0的時候處於(yu) 0位置/速度，在0≤t≤n受到力f(t) ●f(t)=xj，j-1≤t ●y1，y2是最終的位置和速度(在t=n時刻) ●有y=Ax ●a1j是在j-1≤t ●a2j是在j-1≤t 14熱係統 ●xj是第j個(ge) 加熱元件或熱源的功率 ●yi是位置i處穩態溫度的變化 ●通過熱傳(chuan) 導完成熱傳(chuan) 輸 ●y=Ax ●aij表示位置i處熱源j的影響 ●A的第j列給出熱源j在1W功率時穩態溫度上升的模式 ●A的第i行表示各個(ge) 熱源對位置i的影響 15多個(ge) 光源照明 ●n個(ge) 光源照射m個(ge) 小而平的塊(patch)，無陰影 ●xj是第個(ge) 光源的功率，yi是第i個(ge) 塊的照明水平 ●y=Ax,aij=rij-2max{cosθij,0} (cosθij<0意味著第i個(ge) 塊與(yu) 光源j之間是遮擋的) ●A的第j列描述光源j的照明模式 16無線係統中的信號和幹擾功率 ●n個(ge) 發射器/接收器對 ●發射器j向接收器i發送(並且不經意間發送到其它接收器) ●pj是第j個(ge) 發射器的功率 ●si是第i個(ge) 接收器接收到的信號功率 ●zi是第i個(ge) 接收器接收到的幹擾功率 ●Gij是從(cong) 發射器j到接收器i的路徑增益 ●有s=Ap,z=Bp,其中 17生產(chan) 成本 生產(chan) 投入(材料、零件、勞動力......)組合起來製造一係列国产欧美在线 ●xj是每單位生產(chan) 投入j的價(jia) 格 ●aij是製造單位国产欧美在线i所需要的生產(chan) 投入j的單位量 ●yi是每單位国产欧美在线i需要的生產(chan) 成本 ●有y=Ax ●A的第i行是生產(chan) 單位国产欧美在线i所需的材料賬單 生產(chan) 所需投入 ●qi是要生產(chan) 国产欧美在线i的量 ●rj是生產(chan) 所需輸入j的總量 ●有 總生產(chan) 成本為(wei) 18線性化 ●如果f : Rn → Rm，在x0∈Rn可微，則 x在x0附近⇒f(x)很接近f(x0)+Df(x0)(x-x0)，其中 是導數(雅可比)矩陣 ●y=f(x),y0=f(x0),定義(yi) 輸入偏差(derivation)δx:=x-x0，輸出偏差δy:=y-y0 ●有δy≈Df(x0)δx ●當偏差很小的時候，用一個(ge) 線性函數將它們(men) (δx和δy)近似聯係起來 19通過距離測量來導航 ●(x,y)是平麵上的未知坐標 ●(pi,qi)是已知的信標(beacons)坐標，i=1，2，3，4 ●ρi測量從(cong) 信標i到未知點的距離 ●ρ∈R4是(x,y)∈R2的一個(ge) 非線性函數： ●在(x0,y0)附近作線性化： 其中， ●A的第i行顯示(x, y)從(cong) (x0, y0)的(小)偏移距離測量的(近似)變化 ●A的第一列表示距離測量對x從(cong) x0的(小)變化的敏感性 20廣泛的国产成人在线观看免费网站類別 線性模型或函數y=Ax 一些更廣泛的国产成人在线观看免费网站類別： ●估算或求逆 ●控製或設計 ●映射或變換 21估算或求逆 ●yi是第i個(ge) 測量或傳(chuan) 感器讀取(已知的) ●xj是第j個(ge) 需要估算或確定的參數 ●aij是第i個(ge) 傳(chuan) 感器對第j個(ge) 參數的靈敏度 問題示例： ●給定y，確定x ●找到導致y的所有x ●如果沒有x滿足y=Ax,則，找到x滿足y≈Ax 22控製或設計 ●x是設計參數向量或輸入向量 ●y是結果向量或輸出 ●A描述輸入選擇如何影響結果 問題示例： ●找到x，使得y=ydes ●找到導致y=ydes的所有x ●在滿足y=ydes的x中，找到最小的那個(ge) 23映射或變換 ●x由線性函數y=Ax映射或變換到y 問題示例： ●確定是否存在x映射到給定的y ●(如果可能)找到映射到y的x ●找到映射到給定y的所有的x ●如果隻有一個(ge) x映射到y,找到它(即解碼或撤銷映射) 24矩陣乘法作為(wei) 列的混合 將A∈Rm×n寫(xie) 為(wei) 列的組成： 其中aj∈Rm y=Ax可以寫(xie) 為(wei) （xj是標量，aj是m向量） ●y是A的列的線性組合 25一個(ge) 重要的例子：x=ej，第j個(ge) 單位向量 那麽(me) Aej=aj,A的第j列 26矩陣乘法作為(wei) 與(yu) 行的內(nei) 積 將A寫(xie) 為(wei) 行向量混合的形式： 其中 那麽(me) y=Ax可以寫(xie) 為(wei) 即yi是A的第i行和x的內(nei) 積 幾何解釋： 27框圖表示 y=Ax可以用信號流圖或框圖表示 例：m=n=2,有 框圖表示為(wei) ●aij是從(cong) j輸入到i輸出的增益 例子：塊上三角矩陣 x和y相應的分塊 其中 從(cong) 而 框圖表示為(wei) ： 即y2不取決(jue) 於(yu) x1 參考文獻：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd 關(guan) 於(yu) 昊量光電： 上海昊量光電設備有限国产黄色在线观看是國內(nei) 知名光電国产欧美在线專(zhuan) 業(ye) 代理商，代理品牌均處於(yu) 相關(guan) 領域的發展前沿；国产欧美在线包括各類激光器、光電調製器、光學測量設備、精密光學元件等，涉及国产成人在线观看免费网站領域涵蓋了材料加工、光通訊、生物醫療、科學研究、國防及更細分的前沿市場如量子光學、生物顯微、物聯傳(chuan) 感、精密加工、先進激光製造等；可為(wei) 客戶提供完整的設備安裝，培訓，硬件開發，軟件開發，係統集成等優(you) 質服務。 您可以通過昊量光電的官方網站www.weilancj.com了解更多的国产欧美在线信息，或直接來電谘詢4006-888-532。 本文章經光學前沿授權轉載,商業(ye) 轉載請聯係獲得授權。
是Rn上的一個(ge) 超平麵(垂直於(yu) 對應列向量)
