拉普拉斯變換
拉普拉斯變換
傅裏葉變換
傅裏葉變換需要滿足狄利克雷條件：
1. 在一個(ge) 周期內(nei) ，連續或隻有有限個(ge) 第1類間斷點
2. 子一個(ge) 周期內(nei) ，極大值和ji小值的數目應是有限個(ge)
3. 在一周期內(nei) ，信號是絕對可積的
補充：間斷點分為(wei) 兩(liang) 類：
1. 第1類不連續點：
可去不連續點：不連續點兩(liang) 側(ce) 函數的極限都存在，且相等
跳躍不連續點：不連續點兩(liang) 側(ce) 函數的極限存在，但不相等
2. 第二類不連續點：
無窮間斷點：左右兩(liang) 點中，至少存在一個(ge) 點的極限為(wei) 無窮
振蕩間斷點：函數在該點沒有定義(yi) ，一直在變換。例如y=sin(1/x)在零點位置
對於(yu) 狄拉克雷條件，很多函數無法滿足，例如e指數，拋物線等等。因此拉普拉斯在傅裏葉變換的條件上添加一個(ge) 
進行衰減，當t大於(yu) 0的時候，整個(ge) 函數都是快速衰減的，t<0的範圍並不是關(guan) 心的重點，所以將他們(men) 都置為(wei) 零處理。所以在傅裏葉變換的基礎上，生成一個(ge) 更加泛化的變換公式
其中
，當
的時候，傅裏葉變換。拉普拉斯變換使用符
表示。
拉普拉斯變換
1. 時域和頻率區別
從(cong) 時域觀察，傅裏葉變換中的某個(ge) 頻率，他是邊長為(wei) 1的單位圓圈。但是拉普拉斯變換，他是一個(ge) 不斷衰減的圓。
從(cong) 頻域看，傅裏葉變換是一維的，拉普拉斯變換是二維的
例如幾個(ge) 正弦函數組成的波形，傅裏葉表達式如下
拉普拉斯的表達式是為(wei)
可以從(cong) 下圖中看出，在不同的位置，代表的形狀也是不同的。當處於(yu) 坐標軸左側(ce) 是，是區域穩定的；當處於(yu) 縱軸的情況下，產(chan) 生恒定的振蕩；處於(yu) 右側(ce) 情況下，振動趨於(yu) 不穩定。
2. 收斂條件
當坐標趨向於(yu) 無窮遠的的時候，幅值趨向於(yu) 零
即滿足上述關(guan) 係的時候，整體(ti) 收區域收斂的，因此隻要找到合適的
便能找到找到收斂區域
3. 零點和ji點
拉普拉斯構成的傳(chuan) 遞函數，存在的分子和分母兩(liang) 項。當分子為(wei) 零時的解為(wei) 零點，當分母為(wei) 零時的解為(wei) ji點。
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