一篇帶你了解Allan 方差的數學基礎、用途概述以及如何使用Moku 相位表進行相應測量。
Allan 方差理論及測量方法
Allan方差起初是為(wei) 了評估原子鍾振蕩器的穩定性而提出的，它提供了在不同時間尺度上頻率穩定性的可靠測量，而標準偏差等統計量卻沒有考慮到這一點。 在本白皮書(shu) 中，我們(men) 將回顧 Allan 方差的數學基礎，並分享Allan 方差及其相關(guan) 參量如何在振蕩器表征等實際国产成人在线观看免费网站中成為(wei) 精確分析時間序列數據的有用工具。
利用Moku 我們(men) 可以執行Allan 方差測量，Moku 是一種基於(yu) FPGA 的設備，它包含了一整套可重構的測試測量儀(yi) 器。相位表 是Moku上開發的高精度數字相位測量儀(yi) ，我們(men) 可以超精確地記錄輸入周期信號的相位、頻率和振幅數據，也可以實時地計算和繪製 Allan 方差統計數據。
Allan 方差由來
您的係統穩定性如何？有許多工具可以用來解答這個(ge) 問題。1960年 David W. Allan 在在美國guo家標準技術研究院（當時稱為(wei) guo家標準局）研究光學時鍾時發明了一種全新的工具 [1]。
Allan 發現，隨著樣本數量增加，現有的統計指標（例如標準差）對於(yu) 特定噪聲源會(hui) 出現偏差。 這促使他開發了一種新的時域計量方法，今天該方法以他的名字命名。
由於(yu) Allan 當時研究光學時鍾，所以為(wei) 原子頻率鍾標準開發了 Allan 方差。因此，該主題的討論經常僅(jin) 限於(yu) 該領域的術語，特別是在表征振蕩器的頻率穩定性方麵。
但是，Allan方差可以針對任何時間序列進行計算。 該序列可以代表信號自身，像溫度傳(chuan) 感器的輸出信號，或其任意屬性（如頻率、相位、幅度等），並以恒定的速率進行評估。 因此，Allan 方差從(cong) 通信 [2] 到導航 [3] 的各種国产成人在线观看免费网站中備受青睞。
Moku 相位表提供了 Allan 方差作為(wei) 一個(ge) 數據後續處理的選項，如下方圖 1 Moku:Pro 相位表所示。本說明針對首次接觸的用戶提供了有關(guan) 該統計方法的入門介紹。
圖 1: 在相位表上顯示 Allan 標準差（Allan 方差的平方根），首先單擊數據圖形顯示按鈕。然後從(cong) 下拉菜單選擇“Allan 標準差”。
Allan 方差數學運算
Allan 方差的基本原理是將時間序列劃分為(wei) 等分的部分，並考慮每等分的時間平均值與(yu) 前一等分的時間平均值有何不同。 如果從(cong) 整個(ge) 數據集來看這些差異很小，那麽(me) 係統在這個(ge) 時間尺度上是穩定的。
圖 2: 計算 
第1步是將數據分割成長度為(wei) τ 的片段並計算每一個(ge) 分段 的時間平均值，。然後，我們(men) 減去連續平均值並計算這些差異的 RMS 值。將計算結果除以 得到觀測時間 τ 上的 Allan 方差。
更具體(ti) 地說，假定我們(men) 有一個(ge) 連續的時間序列 
，其 Allan 方差 
定義(yi) 為(wei) ：
這裏 <.> 表示期望值<平均值>，同時 是 y 在觀測時間 τ 上的第 i 個(ge) 樣本的平均值（圖 2）。Allan 標準差就是Allan 方差的平方根，或者 
。我們(men) 可以針對一係列觀測時間 τ 評估該表達式，以深入了解數據在不同時間尺度上的自相似性（即穩定性）。
從(cong) 式（1）可以看出，
的維度與(yu) y 相等。 我們(men) 將該值解釋為(wei) 間隔 τ 秒的 y 測量值在兩(liang) 個(ge) τ 秒之間的預期均方根差。
例如，假定一個(ge) 時鍾振蕩頻率在 
。如果其分數頻率差的 Allan 方差 - Y，表達式為(wei) ：
在10秒觀測時間 （τ = 10 s）上為(wei) 1.23x10-10 ，然後我們(men) 可以預計 Y 其兩(liang) 個(ge) 隨機選擇並連續的 10 秒觀測時間測量值相差為(wei) 1.23x10-10 RMS。在給定的部分頻率差定義(yi) 下，這等於(yu) 一個(ge) 預期的絕對頻率差 
。
現在我們(men) 思考長度為(wei) M 的真實有限數據集的情況，以周期 進行采樣（圖 3）。我們(men) 不能在一個(ge) 采集係統內(nei) 自由地選擇總時間 τ，所以我們(men) 將時長 
劃分成 K 個(ge) 數據分段，這裏 
。Allan 方差可以粗略地近似為(wei) ：
這裏在 
的不確定度是 
。測量不確定度的完整處理方法不在本文討論範圍之內(nei) ，因此請參閱參考文獻 [4] 了解更多詳細信息。為(wei) 了改善結果的可靠性並且比較高效地使用數據值，我們(men) 可以將數據劃分為(wei) 重疊段（圖 4），這得到了 M-2n+1 對連續的分段，與(yu) 之前的 K-1=M/n-1 正相反。這樣重疊的 Allan 方差可以表示為(wei) ：
圖 3：在真實的采樣係統裏，數據量是有限的，同時 τ 被限製在幾倍采樣周期內(nei) 
（這裏 n = 2）
通過積分獲得 Allan 方差
在許多常見的測量場景下存在一個(ge) 變量 x，其屬性如下式所示：
例如在時鍾穩定度測量中，時間偏差 X 是部分頻率差 Y 的積分，例如在陀螺儀(yi) 係統中，被測角度， θ 即旋轉速度 Ω 的積分。
我們(men) 可以通過式（5）的積分來計算 x，即使它不和某個(ge) 被測物理量相對應。
圖 4：為(wei) 了優(you) 化使用這些數據值，分段會(hui) 重疊。這創建了額外的連續觀測時間對，所以增加了等式（3）中可能的被加數數量。在這個(ge) n = 2 的案例中，受製於(yu) 非重疊的分段，我們(men) 可以執行減法：
，
等等。現在我們(men) 還有：
，
等等。盡管樣本並不完全獨立，但我們(men) 結果的可信度仍然有所提高。
在這種情況下
或者用離散函數表示，
這樣等式（4）就變成
這裏 N = M + 1 是 x 的長度。為(wei) 了理清這一點，我們(men) 可以考慮 y 通過 x 的數值導數（差）來構造，因此 M = N − 1。
這似乎像一個(ge) 很抽象的簡化定義(yi) ，當出於(yu) 計算效率的原因，等式（10）提供了 Allan 方差z普遍的方程式。注意這裏，x 測量值提供的是 y 的 Allan 方差，而非 x。
繪製 Allan 方差圖
Allan 方差通常針對多個(ge) 平均時間進行運算，並且以 log - log 刻度繪圖（圖 5）。這樣的圖形有助於(yu) 確定給定測量值的平均時間。注意我們(men) 不會(hui) 總是推薦使用較長的平均時間，特別是存在低頻漂移的情況下。
另外，常見的噪聲源一般以冪定律描述，它在 Allan 標準差圖上呈現已知的斜率。例如，白噪聲會(hui) 隨著平均時間的平方根而減少。所以我們(men) 能夠預期白噪聲的斜率為(wei) 
，情況也確實如此。更普遍的是，如果特定噪聲源在功率譜密度 S 的斜率是 
，則 Allan 標準差的斜率即 
。
這一事實使人們(men) 能夠輕鬆確定哪個(ge) 噪聲源在不同的平均時間內(nei) 占主導地位，建立噪聲預度以確定係統性能是否得到充分理解，或量化每個(ge) 誤差源的分布（圖 6）。
表 1 羅列了在研究時鍾和陀螺儀(yi) 時常見噪聲源的斜率
表 1：針對選定国产成人在线观看免费网站中的不同噪聲源的斜率冪指數 
（即 β 是 
）[3, 5]。FM：頻率調製方式，PM：相位調製方式。
圖 5：時間序列（上軸）樣例，同時它相對應的 Allan 標準差圖（下軸）。
針對多個(ge) 平均時間 τ 進行評估，結果以 log - log 刻度顯示。
圖 6：冪定律噪聲源在 Allan 標準差圖上顯示為(wei) 已知的斜率，讓我們(men) 可以容易地對係統噪聲建模。總的噪聲定義(yi) 為(wei) 不相幹的獨立噪聲分布總和，即 
。在這種情況下，穩定性隨著平均時間的推移而提高（因為(wei) 白噪聲的影響減少），直到粉紅/閃爍噪聲成為(wei) 主導。 在較長的時間尺度上，穩定性受到數據線性漂移的限製（參見圖 5，上軸）。 當平均時間約為(wei) 5000 秒時，測量結果很穩定。
如何在Moku配置Allan 方差測量
下方視頻演示如何在Moku配置Allan 方差測量。
視頻鏈接如下：（文章中有視頻）
功率譜密度 vs Allan 方差
就像我們(men) 前麵提到的，有許多的工具可用於(yu) 描述係統穩定性。雖然 Allan 方差是穩定性在時域上的計量，那功率譜密度（PSD），Sy 就是頻域上的對應項。如果 y 的單位是 
，則 Sy 的單位是 
。當然在 Allan 方差中所包含的信息 
隻是 PSD 中包含信息的替代表示，並且存在一個(ge) 很接近的轉換形式（參考 [6] 中的附錄I）。注意這個(ge) 隻可以是從(cong) PSD 向 Allan 方差的轉換，相反則不行。轉換方程如下：
這裏 H(f）是時域采樣函數的傳(chuan) 遞函數。
在這個(ge) 情況下，我們(men) 需要注意一個(ge) 有用的表達式：
這裏 
。我們(men) 可以以此為(wei) 例，根據 
轉換 相位(φ) 噪聲的 PSD 為(wei) 頻率 (f) 噪聲之一。
結果
我們(men) 在本文中已經介紹了 Allan 方差，展示如何計算並解釋分析。zui初是在振蕩器穩定性的背景下開發的，目前仍是很常用的統計方法。不過 ，我們(men) 需要強調它適用於(yu) 任何時間序列並且在廣泛的領域中大有用處。
Allan 方差有助於(yu) 確定特定測量下的理想觀測時間並識別主要的噪聲源。還可以將功率譜密度轉換為(wei) 阿倫(lun) 方差。
Allan 方差是一種非常有用的統計工具，也是 Moku 相位表上可用於(yu) 數據後續處理的眾(zhong) 多此類工具之一。 其性能以及相位表的微弧度級精度和 Moku:app 的直觀用戶界麵，使 Moku 成為(wei) 在表征振蕩器係統穩定性的国产成人在线观看免费网站中的設備。
除 Allan 方差之外
正如標準差存在局限性一樣，Allan 標準差也不是在所有情況下都是理想的統計方法。 為(wei) 了考慮完整，這裏簡要討論了 Allan 標準差的兩(liang) 種常用導數，它們(men) 在某些情況下提供了改善的性能。
修正 Allan 標準差
我們(men) 在上麵注意到了在 Allan 標準差圖上（圖 6）基於(yu) 梯度軌跡識別噪聲源的可能性。然而多個(ge) 噪聲源會(hui) 存在同一個(ge) 斜率。特別是振蕩器白噪聲相位調製（WPM）和閃爍噪聲相位調製（FPM）會(hui) 同時產(chan) 生一個(ge) 
斜率（如表 1）。然而，WPM 對測量帶寬非常靈敏，FPM 則不然。通過在 n 個(ge) 相鄰測量之間部署額外的平均方法，這裏 
，這樣修正後的 Allan 標準差，產(chan) 生隨 τ 線性變窄的有效帶寬，同時能夠區分這些噪聲源 [7]。
修正的 Allan 標準差可以表示為(wei) ：
或者更實際一點，
時間偏差
基於(yu) 修正的 Allan 標準差更進一步的計量是時間偏差，或者時間 Allan 標準差 
，可以表示為(wei) ：
注意這不過是修正 Allan 方差的另一個(ge) 版本（所有在 log - log 圖上的斜率通過 τ 的一次冪減少）。選擇歸一化因數使得當 n = 1 時，
與(yu) 白相位調製（PWM）噪聲保持一致。
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參考文獻
TDEV 也經常用 
表示，明確了它是描述 x 穩定性（而不是 y）的事實。這是由於(yu) 附加因子 τ 造成的。
顧名思義(yi) ，這種測量在表征時序分布信號非常有用，它用於(yu) 描述時鍾的相位變化來作為(wei) 平均時間的函數。
[1] D. W. Allan, “Statistics of atomic frequency standards,”IEEE Proceedings, vol. 54, pp. 221–230, Feb. 1966.
[2] L. Hua, Y. Zhuang, L. Qi, J. Yang, and L. Shi, “Noise Analysis and Modeling in visible light Communication Using Allan Variance,”IEEE Access, vol. 6, pp. 74 320–74 327, 2018.
[3] IEEE, “IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Interferometric Fiber Optic Gyros,”IEEE Std 952-1997, pp. 1–84, 1997.
[4] C. A. Greenhall and W. Riley, “Uncertainty of Stability Variances Based on Finite Differences,” September 2004. [Online]. Available:https://ntrs.nasa.gov/citations/20050061319
[5] W. Riley and D. Howe, “NIST Special Publication 1065: Handbook of frequency stability Analysis,” July 2008. [Online]. Available:https://tsapps.nist.gov/publication/getpdf.cfm?pub id=50505
[6] J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, and G. M. R. Winkler, “Characterization of frequency stability,”IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. IM-20, no. 2, pp. 105–120, 1971.
[7] D. W. Allan and J. A. Barnes, “A Modified “Allan Variance” with In- creased Oscillator Characterization Ability,” inProc. 35th Ann. Freq. Control Symposium. USAERADCOM, Ft. Nonmouth, NJ 07703: Time and Frequency Division, National Bureau of Standards, May 1981, https://tf.nist.gov/general/pdf/560.pdf.
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