本文提出了基於(yu) 非線性zui小二乘擬合算法的儀(yi) 器矩陣偏振定標方法。該方法將描述定標單元的參量和儀(yi) 器矩陣的所有矩陣元一起作為(wei) 未知參數，根據偏振光學傳(chuan) 輸理論建立探測光強與(yu) 未知參數的函數關(guan) 係式；然後，基於(yu) 非線性zui小二乘擬合方法擬合實際探測光強隨定標單元方位角的變化曲線，進而得到斯托克斯橢偏儀(yi) 的儀(yi) 器矩陣。
橢偏儀(yi) 與(yu) 偏振相位（十）- 儀(yi) 器矩陣的非線性zui小二乘擬合定標原理
圖1為(wei) 斯托克斯橢偏儀(yi) 儀(yi) 器矩陣的定標光路示意圖。光源發出的光束經過定標單元(起偏器和1／4波片組合)後，由斯托克斯橢偏儀(yi) 探測得到4個(ge) 光強，記為(wei)
設定入射光的歸一化斯托克斯矢量為(wei) 
根據偏振光傳(chuan) 輸理論，探測光強Iout。與(yu) 入射光的斯托克斯參數Sin有如下關(guan) 係：
其中：
為(wei) 係統透射率，X為(wei) 被測斯托克斯橢偏儀(yi) 的儀(yi) 器矩陣，Mwp和MP分別為(wei) 定標單元中波片和起偏器的Mueller矩陣，
和
分別是偏振片和波片的方位角，
為(wei) 波片的相位延遲。
圖1 斯托克斯橢偏儀(yi) 儀(yi) 器矩陣定標光路示意圖
非線性zui小二乘擬合方法中被擬合參數的選擇如下：
(1)選用消光比大於(yu) 10000：1的起偏器，可以認為(wei) 起偏器是完美的，此時入射光的圓偏振分量不影響實際定標。因此，僅(jin) 選擇入射光的斯托克斯參數中兩(liang) 個(ge) 線偏光分量S1和S2作為(wei) 未知參數即可；
(2)校準過程中，波片快軸相對於(yu) 起偏器透射光軸存在的誤差為(wei) 
。此外，由於(yu) 製造誤差，定標單元的波片可能並非精確的1／4波片。假設波片的相位延遲為(wei) δ，非線性zui小二乘擬合定標中將
和δ作為(wei) 未知參數；
(3)係統透射率
和儀(yi) 器矩陣X的15個(ge) 矩陣元作為(wei) 未知參數。
zui終，公式(1)寫(xie) 為(wei) ：
定標單元中，起偏器和波片分別以步長Δθ=45°獨立旋轉，獲得64組調製偏振態，斯托克斯橢偏儀(yi) 探測得到64組光強，記為(wei)
利用非線性zui小二乘擬合方法求解公式(2)中的所有未知參數，擬合函數如式(3)所示，其中i代表每一組光強的個(ge) 數。由matlab庫函數lsqcurvefit擬合得到所有未知參數，從(cong) 而獲得斯托克斯橢偏儀(yi) 的儀(yi) 器矩陣X。
非線性zui小二乘擬合方法的困難在於(yu) 擬合初值的選擇。如參數較多，全局優(you) 化時不同的擬合初值可能會(hui) 有不同的擬合結果。盡管還有諸如蒙特卡洛法、遺傳(chuan) 算法、RBF神經網絡、支持向量機等算法，可以用來尋找全局zui小值，但這些算法不是非常複雜，就是非常費時，效果並不如意。因此，尋找一組合適的初值使得本文所用的非線性zui小二乘擬合偏振定標方法的擬合結果接近於(yu) 真實狀態，對於(yu) 斯托克斯橢偏儀(yi) 的偏振定標有重要價(jia) 值。
一般情況下，理想的斯托克斯橢偏儀(yi) 的儀(yi) 器矩陣X的每一行代表斯托克斯橢偏儀(yi) 的一個(ge) 偏振狀態，該偏振態可以由歸一化的Stokes矢量描述，即：
其中：β∈[一45°，45°]，
∈[-90°，90°]代表偏振空間所有可能的偏振態。本實驗中所選的擬合初值如公式(5)所示。然後利用隨機模擬的方法，隨機模擬給出可能的斯托克斯橢偏儀(yi) 擬合參數的真值，利用式(5)的擬合初值做非線性zui小二乘擬合，求解得到的擬合參數與(yu) 模擬真值之差定義(yi) 為(wei) 參數擬合誤差。通過1000次模擬，分析參數擬合誤差的大小以判斷所選的擬合初值是否滿足要求。公式(6)為(wei) 模擬真實值的選擇範圍，幾乎涵蓋了各種可能的偏振定標係統狀態。
圖2為(wei) 隨機模擬結果，1000次模擬中儀(yi) 器矩陣的擬合誤差在1*10-3，由此可見本文使用的非線性zui小二乘擬合方法及初值的選擇是有效的。
該方法將傳(chuan) 統方法的誤差源(入射光的斯托克斯參數、波片的方位角誤調和相位延遲)作為(wei) 未知參數隨儀(yi) 器矩陣一起由非線性擬合求解，避免了這些誤差源引起的測量誤差。
圖2 非線性擬合方法的誤差估計
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