計算成像通過對所有元素采取並行設計和聯合優(you) 化的方法來平衡光學和電子的處理能力，各個(ge) 元素不被認為(wei) 是相互獨立的。
2018年綜述：計算成像（中）
4、計算成像
計算成像通過對所有元素采取並行設計和聯合優(you) 化的方法來平衡光學和電子的處理能力，各個(ge) 元素不被認為(wei) 是相互獨立的。
盡管在1990年前已經有国产成人在线观看免费网站計算成像概念的工作存在，但是，直到1990年代，成像界才將這些單獨的成像問題解決(jue) 方案視作是方法上的根本轉變。計算正在成為(wei) 成像的一個(ge) 明確和不可或缺的部分。
最先涉及光學和計算聯合的成像工作之一是Cathey作出的，他討論了如何通過光學和信號處理的聯合設計來提升分辨率或增強電子檢測的圖像。首先證明這種成像方法的優(you) 勢的工作之一是Matic和Goodman作出的，他們(men) 發現，當對圖像進行濾波的時候，濾波函數分布在光學和後端檢測處理環節能夠改善圖像的噪聲表現。Veldkamp在他的一篇論文中試圖基於(yu) 人眼的無長突神經層給予這個(ge) 新領域一個(ge) 名字，即，amacronics。無長突神經層對視覺信息先進行預處理，然後再傳(chuan) 輸到視覺神經。這個(ge) 命名沒有流行起來，可能是在這時期將該領域視為(wei) 新事物還為(wei) 時過早。
盡管如此，正如Cathey和Dowski的增大成像景深的開創性工作所證明的那樣，1990年代中期，一小部分研究人員開始發表他們(men) 的工作，這些工作已經考慮到協同後端檢測處理將光學信息明確編碼。
這些活動促使本文的作者之一（JNM,第一作者）組織了一個(ge) 陸軍(jun) 讚助的專(zhuan) 題研討會(hui) （第一次會(hui) 議），以及，隨後光學學會(hui) 的第一次計算成像主題會(hui) 議。新興(xing) 計算成像社區的增長也得益於(yu) 杜克大學的Daivd Brady教授在1998年和2000年讚助的研討會(hui) 。
在第一次會(hui) 議中討論了如何稱呼這種成像方法。第一次使用計算成像這個(ge) 術語是在JNM為(wei) 第一作者的文獻（“Evolutionary paths in imaging and recent trends” Opt. Express 11,2093-2101(2003)）中，相關(guan) 描述為(wei) ：“一個(ge) 集成的計算成像係統......是一個(ge) 其設計集成了光學、光電子和信號處理的係統。係統性能是通過並行設計和聯合優(you) 化來控製的，而不是順序設計以及獨立優(you) 化光學模塊、焦平麵光電子器件和後端檢測算法。”在接下來的兩(liang) 節中，我們(men) 試圖將這個(ge) 定義(yi) 放在更堅實的基礎上。
4.1 定義(yi)
在章節2中，我們(men) 區分了感知和成像。為(wei) 了定義(yi) 計算成像，我們(men) 需要根據進行測量的位置和希望測量的源信息的位置之間的關(guan) 係進行額外的區分。
當這兩(liang) 個(ge) 位置一致時，我們(men) 稱這種感知是嵌入的或貼近的。貼近感知利用換能機製感應和測量換能器所在位置的我們(men) 感興(xing) 趣的物理參數。比如用熱電偶測量空間中一個(ge) 點的溫度，以及用表麵輪廓儀(yi) 與(yu) 樣品表麵接觸的探針掃描樣品麵型等。
當這兩(liang) 個(ge) 位置不一致的時候，我們(men) 稱這種感知或成像是對峙的（standoff，取相對而立的意思）或遠程的(remote)。對峙成像涉及波通過空間傳(chuan) 遞能量和信息，而沒有物質移動的現像。這篇綜述雖然隻考慮電磁波，但是機械波（如聲波和地震波）和引力波也具有遠程傳(chuan) 遞信息的能力。
因為(wei) 電磁波在自由空間傳(chuan) 播具有衍射的固有屬性，因此，我們(men) 想要測量的物理參數的空間位置信息是被擾亂(luan) 的。如圖1所示，恢複這個(ge) 信息需要在換能之前的前端係統進行處理，或者在後端換能過程進行處理。
根據上述定義(yi) ，沒有在檢測前或檢測後進行處理的感知或者成像係統是貼近的。但是我們(men) 不考慮這些。在這裏，我們(men) 考慮使用換能前處理或換能後處理，或者兩(liang) 者都涉及的圖像形成係統。
隻使用換能前處理的係統是傳(chuan) 統的成像儀(yi) 器，它依靠光學元件來改變入射波前。這種變化試圖解釋衍射的影響，並恢複物平麵的空間結構信息。正如前述章節所討論的，這是曆史上最早的成像係統。
第二類成像儀(yi) 器沒有設計前端，但是仍然有後端檢測處理。這種係統最好的例子是雷達天線陣列，這些陣列工作在電磁波譜的無線電頻率帶。無線電的波長量級使得製造透鏡和機械控製是相當昂貴的，但是，高速電子放大器可以讓從(cong) 天線陣列接收的信號直接被轉換和處理。因此，空間信息可以在後端檢測過程中用模擬和數字信號處理的方式來恢複。生物醫學裏的超聲和地質學裏的地震波成像都是類似的成像係統，它們(men) 可以通過直接處理換能器的信號來成像。
最後一類成像儀(yi) 器是既使用換能前處理，又使用換能後處理的係統。我們(men) 在這裏將這類儀(yi) 器的討論限製在換能後處理是由人類設計和製造的係統。這一類成像儀(yi) 器可以追溯到攝影感光乳劑替代人類視網膜作為(wei) 一種換能機製的時期。在攝影裏，通過化學處理的方法控製感光乳劑的對比度和動態範圍，我們(men) 可以進行一定程度的圖像處理。光電換能機製可以實時的進行類似的操作。然而，半導體(ti) 集成技術的發展，促進了探測器技術的發展和換能後計算的成熟。
1970年代到1980年代，研究人員還是分開考慮波前處理和圖像處理。隨後，大家才注意到將波前處理和換能後計算的聯合設計視作提取波前信息的唯一方法。
4.2物理和數學基礎
對於(yu) 成像的的討論需要一定的物理基礎。圖2是一個(ge) 一般化的成像係統，包含了換能後處理。光學傳(chuan) 遞鏈包括物的波前傳(chuan) 輸到成像係統，波前被成像係統的光學模塊采集和變換。這個(ge) 係統使用焦距為(wei) f的透鏡將輸入的二維物體(ti) o(x,y)在探測器上形成輸出圖像i(x,y)。這個(ge) 物體(ti) 可以是自發光的，也可以是被外部光源照射的。圖2展示的是物體(ti) 被外部光源照射。光瞳函數P(u,v)表示光學係統對物體(ti) 施加的變換。光瞳函數最簡單的形式是具有有限尺寸的通光孔徑，然而，更複雜的結構也是可能的。
為(wei) 了分析圖2的係統，我們(men) 需要注意探測器上波前的加權疊加是成像的本質。自發光或被照明的物體(ti) 上的不同空間位置光譜信息被波前所攜帶。光源的物理性質和物體(ti) 決(jue) 定了這些信息是如何被波前編碼並在探測器上進行換能轉換。
如果物理過程中生成的兩(liang) 個(ge) 波前是相關(guan) 的，那麽(me) 這兩(liang) 個(ge) 波前可以相幹的疊加，即振幅和相位都疊加。如果這個(ge) 過程是不相關(guan) 的，那麽(me) 波前不相幹，則是能量的疊加。
波前由空間和時間相幹性來描述。同時從(cong) 兩(liang) 個(ge) 不同空間位置發射出的兩(liang) 個(ge) 波前相關(guan) ，視作光源的空間相幹性。空間相幹性與(yu) 光源尺寸的大小有關(guan) ，空間上尺寸小的光源相比大的拓展光源有更高的空間相幹性。時間相幹是指從(cong) 同一個(ge) 位置，不同時間發射的波前的相關(guan) 性。
需要注意的是，在除發射源之外的平麵中測量的發射波前的相幹性可能與(yu) 源的相幹性不同。盡管如此，在下文中，我們(men) 將參考源平麵的相幹性。
接下來的分析基於(yu) 上述對相幹和成像的描述，並且假設光場是一個(ge) 標量場。符合這些要求的關(guan) 鍵點是滿足近軸近似。我們(men) 的分析進一步假設成像波前是由拓展光源照射物體(ti) 生成的，對於(yu) 自發光物體(ti) （如星星輻射整個(ge) 電磁譜，熱發動機主要輻射紅外譜）隻需要做一些小的改動。對於(yu) 可以控製照明光源的成像，我們(men) 稱為(wei) 主動成像。相反的，對於(yu) 不能控製光源的成像，我們(men) 稱為(wei) 被動成像。
根據圖2，我們(men) 假設物體(ti) o(x,y;v)被多色的空間結構光源
時間頻率v=c/λ，λ是波長。對透射照明物體(ti) ，
是光源
的傅裏葉變換。對於(yu) 自發光的物體(ti) ，
仍然適合描述物體(ti) 。
代表能量與(yu) 波長相關(guan) 的隨機光源，
描述物體(ti) 的物體(ti) 和幾何特性，是光頻率（即波長）的函數。
給定光瞳麵的傳(chuan) 遞函數
，成像平麵的場是透射波前和相幹擴展函數（coherent spread function, CFS）p(x,y)的卷積。p(x,y)是
的逆傅裏葉變換
在這裏，**表示二維卷積。如果我們(men) 假設一個(ge) 簡化的坐標，即fλ=1，f是圖2中透鏡的焦距，u和v是歸一化的空間頻率，並且
入射到探測器上的時域信號
是光源的所有頻率分量的和：
一個(ge) 無窮小探測器置於(yu) 點(x,y)處，在曝光時間內(nei) 的信號響應為(wei)
其中R(v)是探測器的光譜響應，它的值是實數。常數κ是一個(ge) 比例因子，用於(yu) 將被積分的入射電磁波場量轉化為(wei) 探測器的輸出量。得到方程（5）需要做兩(liang) 個(ge) 假設：一是波前是標量場，二是物體(ti) 是一個(ge) 平麵。如果我們(men) 假設物體(ti) 和光瞳函數不是頻率（即，波長）的函數，那麽(me) 探測器在整個(ge) 檢測譜帶內(nei) 的響應都是一樣的，則：
函數Γ(x1,y1;x2,y2)是相幹函數：
它測量來自光源的光的幹涉能力。
我們(men) 現在考慮兩(liang) 個(ge) 相幹的極限情況。在第一種情況，光源是空間相幹的，且幹涉條紋可見度始終是最大的，此時：
將方程（8）国产成人在线观看免费网站到方程（6）可得：
另一種情況則相反，光源是空間不相幹的，幹涉條紋可見度始終是最小的。在此情形下，相幹函數為(wei) ：
將方程（10）代入方程（6），得：
在方程（11）中，係統響應|p(x,y)|2是點擴散函數(PSF)。它的傅裏葉變換H(u,υ)是光學傳(chuan) 遞函數（OTF）。OTF與(yu) 光瞳函數
的二維自相關(guan) 成正比：
出於(yu) 簡化考慮，常數比例因子被略掉，這對我們(men) 的分析隻有很小的影響。盡管如此，OTF在其原點以統一最大值表示。
我們(men) 注意到，所有的真實光源都是部分相幹的。大多數的被動成像是空間不相幹的。如前所述，主動成像的特性取決(jue) 於(yu) 所用的光源。顯微鏡、計量、光刻都是理解和控製光源及其相幹性特別重要的国产成人在线观看免费网站。
相幹性對成像儀(yi) 器的響應的影響如圖3所示。圖3(a)，成像係統的一個(ge) 一維通光孔徑由光瞳函數表示。其生成的sinc函數相幹響應p(x)見圖3(b)。圖3(c)和圖3(d)分別表示非相幹響應的OTF和PSF。
圖3(e)-3(h)分別表示二個(ge) 一維通光孔徑的光瞳函數、CSF、OTF和PSF。
由低通結構所支配是非相幹響應的標誌。實際上，不可能在一個(ge) 非相幹係統中生成帶通響應。非相幹係統獲得的圖像總是有一個(ge) 大的低通偏置。對於(yu) 通過合並多張非相幹圖像生成單張輸出圖像的係統而言，這會(hui) 使得係統的噪聲增大和動態範圍減小。最終圖像的噪聲與(yu) 總的圖像偏置成正比。如我們(men) 在4.3節將討論的，信噪比會(hui) 影響圖像的分辨率。
因為(wei) 電子探測器是離散而不是連續的，方程（9）和（11）的連續波前通過采樣和數字化改寫(xie) 為(wei) 離散的數字形式 id (x,y)描述：
其中i(xm,ym)是探測器上麵積為(wei) Ad的單個(ge) 像素在一次曝光時間內(nei) 接收的總能量，點集(xm,ym)定義(yi) 了采樣點陣。
將每個(ge) 采樣點的連續值離散數字化。大多數探測器陣列的采樣點陣是矩形的，即：
其中
和
表示探測器沿x和y方向的像素間隔。
如果我們(men) 將探測器的無噪聲測量值記為(wei) 矩陣I，它的矩陣元素為(wei) ：
相幹和非相幹成像係統采樣和數字化的輻照度為(wei) ：
運算符
是對每個(ge) 矩陣元素求平方。
O是物o(x,y)的複振幅以字典排序後得到的矢量。如果物包含個(ge) Nx X Ny個(ge) 元素，則O是大小為(wei) NxNy X 1的矢量。P是表示相幹光學響應的矩陣，即P的每一列包含了對物空間中不同位置的點物的空間響應。因此，方程(16)和(17)的矩陣乘法實現了物和係統響應的卷積操作。如果係統是線性和平移不變的，P的列是彼此的平移表示，其中平移由列號決(jue) 定。如果光學響應大小有限，采樣時將有Np個(ge) 非零元素，P的大小是(NxNy + Np - 1 ) X (NxNy)，檢測到的圖像大小為(wei) (NxNy + Np - 1 ) X 1。
探測器產(chan) 生的輻照度測量M包含了采樣、數字化、光子轉化為(wei) 電子時的各種噪聲。如果我們(men) 將這些噪聲合並成一個(ge) 噪聲項，圖像測量是
其中n表示由探測時引入係統的噪聲。
M進一步的被運算符處理得到信息I':
nT是後端檢測處理產(chan) 生的噪聲，n'是整個(ge) 圖像過程的噪聲。運算符T既可以是線性的，也可以是非線性的。
為(wei) 了得到物和像之間的關(guan) 係，我們(men) 做了好幾個(ge) 假設，包括物是平麵的、準單色的標量波前。在這篇綜述裏，我們(men) 不會(hui) 拘泥於(yu) 這些假設，計算不僅(jin) 可以被用去多色、三維、偏振成像，還可以用於(yu) 提高成像係統的分辨率以及對非經典光學特性成像，如光子糾纏。在下一節，我們(men) 將討論計算對光學設計的影響。
4.3、光學設計
我們(men) 定義(yi) 一個(ge) 理想的像是物的精確幾何表示，即忽略放大率，從(cong) 而
，P是單位矩陣。但是，我們(men) 知道真實場景下采集到的像都有模糊偽(wei) 影。偽(wei) 影來源之一是因為(wei) 有限大小的孔徑響應產(chan) 生不理想的像。離焦和其它的幾何像差、色散效應、相機抖動、大氣擾動也都會(hui) 產(chan) 生模糊偽(wei) 影。
使用計算成像校正光學像差最有名的實例之一是哈勃望遠鏡，它證明了計算成像在提高成像質量上的潛力，並且對計算成像界的一些早期工作產(chan) 生了激勵作用。在計算成像的幫助下，光學設計者們(men) 可以使用以下的方法來補償(chang) 成像中的不完美，它們(men) 是解耦、協同和集成。
4.3a 解耦
解耦設計是光學設計和後端檢測處理各自獨立的另外一種說法。傳(chuan) 統的光學設計旨在最小化幾何和顏色像差，從(cong) 而使得PSF H盡可能的接近單位矩陣。後端檢測處理被用來產(chan) 生一個(ge) 更好的幾何圖像估計。
在圖像估計過程中，我們(men) 假設由H表示的光學係統是不變的，我們(men) 的目標是確定處理算法T，使得圖像I'和物的輻照度|O|2之間的差異最小。聯立方程（17）和（18），空間域測量M為(wei) ：
經過處理後的I'是：
在沒有噪聲的情況下，如果H是可逆的，方程（21）的解為(wei) ：
然而，H並不總是能夠直接測量和求逆。如安防国产成人在线观看免费网站，方程（22）就是病態（ill -conditioned）的。而且，微小的測量噪聲都能夠嚴(yan) 重影響最終的解。
如果我們(men) 假設噪聲是白噪聲和高斯噪聲，T的最優(you) 解是維納濾波器：
其中
是噪聲的功率譜密度。其它的增強方法包括了迭代算法，如適用於(yu) PSF已知情況下的Richardson-Lucy法和適用於(yu) PSF未知的盲解卷積方法。
對於(yu) 那些成像光學元件相當糟糕，但是成像環境可控的国产成人在线观看免费网站（如通過像生物組織這樣的薄的散射介質成像、內(nei) 窺鏡中通過多模光纖成像等），我們(men) 可以通過測量係統對所有可能的輸入空間位置的響應來校正H。有的研究人員基於(yu) 此思路，使用移除傳(chuan) 統的光學元件或故意用隨機元件替代傳(chuan) 統光學元件的方法來成像。
4.3b 協同
協同是指設計人員利用他在光學和處理方麵的知識，發揮其各自的優(you) 勢來設計係統。比如說，後端檢測處理在反轉幾何畸變上有優(you) 勢，那麽(me) 我們(men) 可以讓光學模塊承擔最小的畸變控製，把大部分光學資源放在色差的校正上。協同設計的準則是，設計人員基於(yu) 以最小的代價(jia) 獲得最佳的性能的原則選擇光學上或者計算上解決(jue) 某個(ge) 問題。
4.3c 集成
集成設計考慮成像過程中光學模塊和計算的相互影響。目的是通過計算來提高光學模塊的成像性能，或在維持或提高成像性能的前提下替換掉光學元件。不管是哪種情況，光學模塊都被設計用於(yu) 獲取不同於(yu) 傳(chuan) 統光學的PSF，經過處理後，可以獲得在某方麵屬性上得到提升的PSF。
參考方程（21），我們(men) 的目的是設計一個(ge) 光學模塊H和處理T，兩(liang) 者結合產(chan) 生一個(ge) 響應Z 。如果T是線性的。
光學-數字的聯合設計，反應了圖像形成的承載是跨域共享的這一個(ge) 哲學理念。以一個(ge) 紅外成像係統為(wei) 例。若要使得係統的調製傳(chuan) 遞函數（MTF，是OTF的模）在空間頻率帶上大於(yu) 一個(ge) 設定的閾值，用傳(chuan) 統的光學設計方法需要2個(ge) 光學鏡片（因為(wei) 單個(ge) 鏡片無法校正球差、像散和場曲）。然而，通過光學設計與(yu) 後端檢測處理聯合優(you) 化，隻需要承受輕微的噪聲就可以隻用一個(ge) 鏡片滿足要求。
圖4是一個(ge) 相似的例子。設計目的是為(wei) 了提高成像係統的噪聲表現，前端光學部分用光學追跡軟件通過迭代優(you) 化算法設計，後端檢測部分使用維納濾波器，評價(jia) 函數使用均方誤差。圖4左側(ce) 是傳(chuan) 統的設計方法，將前端和後端獨立設計。圖4右側(ce) 是通過將前端和後端聯合設計。從(cong) 圖中明顯可見，聯合優(you) 化設計的方法更有效。
上述兩(liang) 個(ge) 例子都是從(cong) 物到像的一對一映射，求取期望的響應Z的。然而，這並不是必需的。在什麽(me) 情況下聯合設計相比傳(chuan) 統設計更有優(you) 勢？初步研究認為(wei) ，在低信噪比的情況下，選擇聯合設計更佳。而對於(yu) 光照良好的場景，其優(you) 勢並不大。
基本的要素是，光學元件被刻意設計成不是對一個(ge) 點進行響應（即不是產(chan) 生關(guan) 於(yu) 某個(ge) 通光孔徑的OTF），而是設計成將信息編碼到波前上。這樣，波前經過測量後，可以經過後端處理提取出信息。下一節討論信息理論的基本概念。
4.4、信息基礎
物體(ti) 的透射或反射波前記載著物體(ti) 的信息，從(cong) 方程（9）和（11）可知，有限入射孔徑的成像係統不可能傳(chuan) 輸所有的入射信息。一個(ge) 焦距為(wei) f、孔徑是直徑為(wei) D的圓形通光孔徑的成像係統，在波長為(wei) λ時對點源的像是一個(ge) 艾裏斑。艾裏斑的第一個(ge) 零點定義(yi) 為(wei) 瑞利衍射極限1.22λf#。f-數是f#
盡管瑞利分辨率是表述成像係統分辨率的傳(chuan) 統方法。我們(men) 在這裏用它來衡量成像係統的自由度。如果一個(ge) 相幹成像係統的探測器平麵最大線性尺度是Wd，則圖像可分辨的點數S正比於(yu) ：
S是係統的信息傳(chuan) 遞能力的基本限製，我們(men) 稱其為(wei) 空間帶寬積(space-bandwidthproduct, SBWP)。
一個(ge) 係統的空間帶寬積是一個(ge) 定值。由於(yu) 非相幹成像係統的OTF是光瞳函數
的自相關(guan) ，所以非相幹成像係統的空間帶寬積是4S。但是後續的討論會(hui) 忽略掉倍數4，因為(wei) 它對計算成像概念的影響很小。對於(yu) 即將進行的討論，重要的是認識到，在一個(ge) 平麵上使用資源來編碼信息，會(hui) 降低互補域中資源的可用性。
方程（26）的空間帶寬積表示係統的信息容量上限。在波前測量過程中，隨機噪聲和采樣噪聲等會(hui) 引入測量誤差，從(cong) 而減小了係統測量到的信息。
光學噪聲是一個(ge) 光子統計學函數，可以用泊鬆過程來表示。對於(yu) 大的信號，泊鬆過程可以用高斯函數近似表示，其均值和方差等於(yu) 或者取決(jue) 於(yu) 信號。因為(wei) 噪聲的大小與(yu) 光子數的均方根有關(guan) ，通過增加檢測到的光子數可以提高信噪比。光子數的增加可以通過擴大通光孔徑和延長探測器的積分時間（即增大曝光時間）等實現。但是這樣會(hui) 增大係統的尺寸、重量，並降低高時間頻率的信息，因此並不總是可取的。
電子噪聲是測量過程中探測器和相關(guan) 的電子元件隨機生成的電子，這些電子會(hui) 疊加到測量到的信號上。從(cong) 方程（13）我們(men) 可以知道，探測器是以一定的像素間隔對波前進行空間采樣的。入射到探測器上的光子在一個(ge) 像素上實現空間和時間的積分，生成一個(ge) 空間采樣的電信號。如果這個(ge) 空間采樣率不夠大，就會(hui) 產(chan) 生欠采樣（aliasing），可以建模為(wei) 依賴於(yu) 信號的加性噪聲。
盡管已經有了各種各樣的方法來評估圖像質量，成像研究人員嚐試在通信理論中尋找指導，以將圖像質量用信息學指標來表示。Shannon（香農(nong) ）定義(yi) 了帶寬為(wei) Bw，信噪比為(wei) SNR的通信通道的信息容量是：
對數符號表示信號加噪聲的測量值包含的信息的比特數。
1955年，Fellgett和Linfoot提出了基於(yu) 香農(nong) 信息的度量作為(wei) 替代傳(chuan) 統的圖像保真度量。1970年，Frieden由於(yu) 想要理解噪聲對圖像複原的影響，建立了信息和圖像複原能力之間的關(guan) 係。類似於(yu) 方程（27）的信息理論成像模型也被人推導了出來。受此啟發，我們(men) 可以用探測器的空間采樣率來確定帶寬、物體(ti) 功率譜密度，用係統OTF來確定信號，用測量噪聲和欠采樣確定噪聲。隨後，研究人員使用信息理論分析了成像係統，以探索諸如自由度、信道容量和最佳編碼等主題。
鑒於(yu) 計算成像是對一個(ge) 期望量的非直接測量，憑借傳(chuan) 統的成像保真度評價(jia) 不足以評判計算成像的性能。計算成像的一個(ge) 關(guan) 鍵要素是設計一個(ge) 測量X和後端檢測處理來估計一個(ge) 期望參數θ。對於(yu) 一個(ge) 給定的θ，從(cong) 測量中得到特定采樣X的概率是f(X;θ)。
設計一個(ge) θ的估計值
，如果這個(ge) 估計值沒有偏置，則期望值是θ。Cramer-Rao不等式規定了估計值的不確定性的下限
F(θ)是Fisher信息，
是期望。方程（28）提供了一種定量評估係統性能的方法。
因此，Fisher信息是參數估計準確度的一種度量，它依賴於(yu) 可觀測值的選擇及測量。這與(yu) 計算成像尤其密切相關(guan) 。Fisher信息可用於(yu) 評估編碼測量的優(you) 勢，並可根據測量來指導設計。比如，Fisher信息被用於(yu) 從(cong) 圖像數據中估計一組有限的傅裏葉係數。
計算成像的目的是優(you) 化每次測量中感興(xing) 趣參數的信息。這並不意味著增加波前所攜帶的信息，而是以測量後最小化參數估計不確定性的方式編碼波前信息。通過統一設計測量過程和後端處理算法有利於(yu) 達到這個(ge) 目的。在光學和後端檢測處理協同設計過程中需要重點考慮的是：編碼操作是可逆的、對噪聲是敏感的以及相關(guan) 的無效空間需要被確認。下一節對計算成像的動機進行分類。
4.5 動機
確定了計算成像的元素後，我們(men) 現在定義(yi) 了三個(ge) 不同類別的計算成像係統，它們(men) 符合我們(men) 對間接測量的定義(yi) 。這些類別以不同的動機來區分，即：
使用傳(chuan) 統方式是無法實現的
解決(jue) 維度不匹配的問題
降低成本
5、 動機1：傳(chuan) 統成像力有不逮
有時候用傳(chuan) 統方式成像在物理上不可行的。比如，對相幹、量子糾纏、物體(ti) 的光學相位這樣的光學屬性成像以及醫學影像中使用間接的方式替代有創手術對人體(ti) 內(nei) 部器官成像等。這些都需要改變測量機製，並且都需要計算的方法來生成期望的圖像。此外，這些計算成像係統的操作都是以物理學為(wei) 基礎的。盡管在完成所需的測量和必要的處理使用了技術手段，但沒有一種技術能夠實現直接測量感興(xing) 趣的參數。
5.1 相位成像
電磁波由電場和磁場表征，它們(men) 的振幅和相位是空間和時間的函數。電磁波頻譜範圍從(cong) 無線電波（103Hz）到Gamma射線（1020Hz）。本文主要考慮的可見光和紅外線在1014到1015Hz範圍內(nei) 。
相位在場景中物體(ti) 的電磁波信息的編碼上扮演了一個(ge) 關(guan) 鍵的角色。特別是在可見光區域，有些物體(ti) 對可見光是透明的，隻調製波的相位。即使是隻調製振幅的物體(ti) ，波在傳(chuan) 播的過程中也會(hui) 將關(guan) 鍵的物體(ti) 信息轉換為(wei) 波前相位。因此，相位的測量相當重要。
無線電波的相位借助於(yu) 高速電子器件可以直接測得，但是可見光和紅外光的相位在當前是沒辦法直接測量的。雖然直接測量不行，但是我們(men) 可以借助於(yu) 計算的方法測量可見光和紅外光的相位，即通過前端波前操縱和後端檢測處理來提取相位。本小節討論及對比光學相位可視化的經典方法和最近的通過先驗信息和計算提取相位的方法。
5.1a 相襯顯微鏡
如果要成像的物體(ti) 是透明的，且對入射波的相位產(chan) 生輕微的改變（比如顯微鏡下對生物細胞成像），那麽(me) 是有可能隻通過光學處理來顯現相位的。Zernike相襯顯微鏡就是基於(yu) 這個(ge) 原理製成。
相襯顯微鏡假設被成像的物體(ti) o(x,y)是
如果沒有調製的偏置項相移π/2，即在圖2的傅裏葉平麵上使用軸上相位濾波器，則檢測到的圖像的輻照度是
圖5是Zernike對比傳(chuan) 統明場顯微鏡圖像（a）和相襯顯微鏡圖像（b)。這裏需要重申一下，因為(wei) 相襯顯微鏡是通過在光瞳平麵放置相位板來直接顯現相位，沒有進一步的計算處理，因此，這隻能算光學處理，而不是計算成像。
5.1b 幹涉度量和全息
傳(chuan) 統的測量光學相位的方法是將相位轉換成可以測量的強度分布。這需要一個(ge) 參考光波與(yu) 從(cong) 物傳(chuan) 播而來的波前進行幹涉，在測量平麵上產(chan) 生可測量的幹涉條紋。如果測量平麵上的參考光波r(x,y;t)為(wei) ：
待幹涉的信號波為(wei) ：
它們(men) 的疊加為(wei) ：
記錄的信號h(x,y)與(yu) 疊加
的能量成正比
方程(35）描述的幹涉條紋模式是場景相位θs(x,y)的編碼表示，場景相位可以通過後端檢測的相位解包裹求出。
在電子計算機使得相位解包裹算法成為(wei) 常規方法之前，全息術不僅(jin) 提供了一種場景相位可視化的方法，還提供一種可視化產(chan) 生相位的場景的方法。Dennis Gabor於(yu) 1948年發明了全息術，其原本目的是為(wei) 了提高當時新興(xing) 的電子顯微鏡的分辨率。Gabor的全息術通過改變測量的方式實現其目的，這很符合計算成像的哲學。
使用共軛參考光照射記錄下的全息圖h(x,y)，得到目標場景o'(x,y)的像
軸上圖像的相位共軛特性（上式第二行最後一項）表明，這個(ge) 像是實像。從(cong) 場景發散的波現在正匯聚到像上，其它的圖像元素包含高的空間頻率。
如圖6所示，Gabor的方法依賴於(yu) 自幹涉。因此，方程（36）中的三個(ge) 像是彼此重疊的。
離軸全息（見圖7）的發明可以將三個(ge) 像分離。
此外，數字電子處理技術的發展使得全息光學記錄和離軸全息圖回放都可以通過數字電子處理技術完成。數字電子處理記錄推動了計算生成全息、衍射光學的發展。數字電子處理回放推動了數字全息的發展。第一次計算重建全息圖由攝像機拍攝，采樣陣元為(wei) 256X256，在PDP-6計算機上用快速傅裏葉變換算法完成傅裏葉變換。性能與(yu) 膠片可媲美的探測器陣列的進一步發展，使得數字全息術成為(wei) 了一種至關(guan) 重要的成像技術。
5.1c 從(cong) 強度複原相位
計算成像對從(cong) 測量結果中估計光學相位產(chan) 生了重大的影響。在1950年代，信息理論開始影響成像科學，研究人員列舉(ju) 了由有限孔徑成的像中包含的自由度。這一方法不同於(yu) 傳(chuan) 統的、更物理的產(chan) 生瑞利分辨率極限的方法。盡管理論上有限大小的物體(ti) 具有無限的帶寬，但是它們(men) 的像的帶寬會(hui) 受到自由空間傳(chuan) 播和成像光學元件孔徑的限製。由此可知，大多數重要的圖像信息是包含在少量的主要特征函數裏的。
最初，這些結果隻是數學上的概念。然而，隨著計算工具的發展，數學概念變成了算法約束。這些約束定義(yi) 了一組函數，從(cong) 這些函數中可以找到一個(ge) 解。這種方法催生了第一個(ge) 實際的相位複原算法。
誤差減小算法如圖8（a）所示，使用單個(ge) 強度測量，在圖像和傅裏葉域不斷迭代約束，最終生成一個(ge) 滿足所有物理限製的傅裏葉相位。在第k次迭代，對物體(ti) 的估計值gk(x,y)做傅裏葉變換，傅裏葉變換的結果強製符合已知的傅裏葉模，然後將其逆傅裏葉變換生成圖像g'k(x,y)。最後對g'k(x,y)執行物體(ti) 域限製生成新物體(ti) 估計值，完成迭代。
區域R包含了
滿足限製的所有點。
圖8(b)的輸入輸出算法原理與(yu) 誤差減小算法有些許不同。它不需要嚴(yan) 格滿足物體(ti) 限製，而是在圖像域g'(x,y)減小誤差來估計物體(ti) 。
是一個(ge) 常數。兩(liang) 種不同的輸入輸出重建結果見圖9。
我們(men) 注意到，這裏介紹的技術都嚐試通過結合先驗信息或者特定的域限製來求解一個(ge) 病態的逆問題。相襯顯微鏡限製成像類別為(wei) 透明且相位擾動小的物體(ti) 。而全息對物體(ti) 類別沒有嚴(yan) 格限製，它使用時間和空間都相幹的參考光束與(yu) 物體(ti) 的場發生幹涉，然後用光學或者數字重建的方式重建相位。最後，在相位複原中，使用相幹光源進行強度測量，並在後端處理中国产成人在线观看免费网站基於(yu) 物理學的約束（如非負性、稀疏性等）來估計相位。
5.2 量子成像
章節4的討論是基於(yu) 經典的電磁波理論的，除了這節討論的量子成像外，所有的成像係統都滿足這個(ge) 假設。當考慮光的非經典特性時，新的成像機會(hui) 開始出現。
當一個(ge) 光子的量子態依賴於(yu) 另一個(ge) 光子的狀態時，量子光子糾纏就出現了。類似於(yu) 經典波前之間的相關(guan) 奠定相幹成像和非相幹成像的基礎。量子態之間的相關(guan) 可以被用於(yu) 探索新的成像係統和對這些量子態進行成像。最近的研究還表明，傳(chuan) 統的光場特性，如相幹和偏振，也展示出了糾纏特性。
鬼成像（coincidence,or gost imaging）使用相關(guan) 光場對不處於(yu) 成像係統中的物成像。如圖10(a)所示，一個(ge) 光源產(chan) 生一對光子，各自通過不同的光路。一個(ge) 光子通過隻有物體(ti) 沒有成像光學元件的光路，被一個(ge) 大的單像素探測器（稱作bucket探測器）接收。另一個(ge) 光子通過隻有成像係統沒有物體(ti) 的光路，被二維探測器陣列接收。通過僅(jin) 保留與(yu) bucket中的光子一致的檢測光子來生成物體(ti) 的圖像。這是通過處理來自兩(liang) 個(ge) 探測器的光子統計數據來尋找相關(guan) 性來完成的。實際上，bucket探測器的時間輸出標記了探測器陣列檢測到的大量光子中實際攜帶圖像信息的光子。這會(hui) 產(chan) 生類似於(yu) 圖10(b)所示的圖像。
盡管第一次鬼成像實驗利用了自發參數下轉換（spontaneous parametric downconversion）中產(chan) 生的光子空間糾纏，但幾乎鬼成像的所有特征都可以使用熱光(thermal light)複製。 盡管量子和熱鬼成像之間有相似之處，但熱鬼圖像表現出很大的偏差，這會(hui) 增加噪聲並降低圖像質量。事實上，這種區別已經導致了確定波前是否存在量子糾纏的測試。此外，受計算成像工作的啟發，已經開發出新的鬼成像方法，利用後端檢測處理的能力來改變所需的測量，從(cong) 而提高成像性能。
5.3 體(ti) 積成像
三維體(ti) 積成像的理論是很難確定的，因為(wei) 多個(ge) 平麵會(hui) 對探測器平麵產(chan) 生影響。因此，體(ti) 積成像的測量和重建算法開發都有難度。退而求其次，我們(men) 可以用傳(chuan) 統的方法一次對物體(ti) 的一個(ge) 二維平麵成像，通過不同物體(ti) 平麵的掃描獲得體(ti) 積數據。在這種成像過程中，通過光學手段消除不同平麵之間的幹擾是可能的，如共聚焦顯微鏡。通過後端檢測處理也能消除這種幹擾。掃描全息也能體(ti) 積成像，但是我們(men) 不認為(wei) 它是計算成像，因為(wei) 圖像是由一係列直接測量的結果生成的。
體(ti) 積成像的基本問題是無法在可見光和紅外光譜範圍通過物體(ti) 成像。這在醫療国产成人在线观看免费网站中尤其令人沮喪(sang) 。自古以來，對人體(ti) 的視覺檢查已被用於(yu) 對醫療疾病做出診斷。對於(yu) 可直接接觸的器官來說這是最自然的，如皮膚。但也可以通過自然開口，如嘴巴、鼻子、耳朵、眼睛和肛門。事實上，現代技術已經提供了越來越複雜的儀(yi) 器，例如內(nei) 窺鏡、支氣管鏡和耳鏡等，通過這些開口進入獲取內(nei) 部器官的詳細圖像。或者，可以通過手術切口插入成像儀(yi) 器。事實上，配備手術器械的成像探頭允許外科醫生通過小切口執行手術，而以前需要更大的切口和全身麻醉。
在某些儀(yi) 器中，圖像通過一係列透鏡或相幹光纖束光學傳(chuan) 輸到體(ti) 外。然而，電子相機的小型化還能夠將光源、透鏡和探測器集成到儀(yi) 器的頭端。在這種情況下，電子編碼圖像可以從(cong) 通過超細電纜或無線連接將體(ti) 內(nei) 圖像傳(chuan) 輸到外部。對於(yu) 醫學界而言，此類儀(yi) 器提供了革命性的能力。然而，它們(men) 的工作原理依賴於(yu) 直接而非間接的測量。從(cong) 概念上講，它們(men) 距離針孔相機僅(jin) 幾步之遙。
要透視身體(ti) ，必須使用可穿透皮膚的波長。因此，X射線用於(yu) CT，RF輻射用於(yu) MRI。然而，這樣的係統不使用類似光學透鏡的東(dong) 西產(chan) 生圖像。相反，他們(men) 使用編碼，間接測量和計算來成像。
5.3a 計算層析
x射線於(yu) 1895 年發現，它可以透過大多數材料。它們(men) 的頻率為(wei) 3 × 1016 至3 × 1019，大多數材料對x光的折射率大約為(wei) 1。因此，當 x 射線穿過材料時主要是振幅的變化，而不是相位的變化，這種變化與(yu) 所遭遇材料的密度成正比。當国产成人在线观看免费网站於(yu) 醫學成像時，由於(yu) 骨骼和軟骨的密度相對於(yu) 軟組織更大，X 射線圖像中骨骼和軟骨的對比度要高於(yu) 軟組織。
然而，單個(ge) X 射線圖像是三維空間變化的密度函數投影到二維探測器上。根據 Beer-Lambert定律，圖像中的每個(ge) 點都對應著X 射線沿一條路徑的線積分，從(cong) 根本上是不可逆的。這可以通過使用冗餘(yu) 和非冗餘(yu) 投影的多次測量來克服，從(cong) 而重建成像體(ti) 積。這就是斷層掃描（來源於(yu) 希臘語，切片記錄的意思）的本質。
在 CT 中，為(wei) 了形成身體(ti) 的單個(ge) 二維平麵圖像，X 射線源以平行或扇形光束輸出圍繞身體(ti) 做圓弧移動。測量是在線陣探測器上進行的，該陣列與(yu) 射線源同步移動。為(wei) 了創建身體(ti) 橫斷麵切片的高質量圖像，使用反投影處理一維投影。反投影算法基於(yu) Johann Radon 1917 年的數學工作，他證明了通過二維函數的線性投影的傅立葉變換等價(jia) 於(yu) 在投影正交方向上通過二維函數的傅裏葉變換的切片。CT 掃描儀(yi) 與(yu) CT 圖像一起在圖 11 中示意性表示。
5.3b 核磁共振成像
而傳(chuan) 統的成像，包括 CT，是基於(yu) 體(ti) 積材料與(yu) 反射、折射和吸收相關(guan) 的特性，MRI 則基於(yu) 氫的電磁特性，特別是在存在強靜態和動態磁場的情況下，水和脂肪分子中的氫核與(yu) 射頻信號的相互作用。
MRI 係統由三個(ge) 部分組成：靜態磁場；產(chan) 生一維空間梯度，方向隨時間變化的動態磁場；以及產(chan) 生射頻脈衝(chong) 序列的源。磁場通過設置體(ti) 內(nei) 氫核的共振頻率來編碼空間信息。每個(ge) 射頻能量脈衝(chong) 都會(hui) 短暫地激發原子核。原子核釋放吸收的射頻能量，被射頻探測器所測量。檢測到能量的頻率表明它是從(cong) 哪個(ge) 空間位置傳(chuan) 輸過來的，檢測到的信號強度與(yu) 那個(ge) 位置的氫核密度成正比。
盡管三維梯度允許在一次測量中對整個(ge) 體(ti) 積進行編碼，但實際上這很難實現。因此，使用一維梯度序列掃描體(ti) 積。因此，RF 測量值對應於(yu) 磁場梯度方向上的線積分，並且使用後處理技術（例如濾波反投影）來恢複有關(guan) 軟組織特征的信息。
眾(zhong) 多的自由度，例如，在靜態磁場中，在磁場梯度的時域變化中，以及在探頭 RF 信號的脈衝(chong) 序列中，實現了各種可能的測量。例如，我們(men) 可以最大限度地減少測量時間（這對於(yu) 在功能性 MRI 中創建實時視頻至關(guan) 重要），或在無需外部造影劑的情況下創建組織特異性成像模式。測量和強大的重建算法的聯合設計是MRI的標誌，這清楚地表明了 MRI 的計算理念。
參考文獻：Joseph N. Mait, Gary W. Euliss and Ravindra A. Athale, “Computational imaging,” Advances in Optics and Photonics Vol. 10, Issue 2, pp. 409-483(2018)
DOI：https://doi.org/10.1364/AOP.10.000409
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