在均勻介質中，一條射線，簡單的表示式就是是它的方向餘(yu) 弦。本次我們(men) 先介紹基礎的射線的方向餘(yu) 弦及其傍軸近似。它是一階理論的基礎，而一階理論是理解變形係統的基礎。
變形係統係列（二）-射線的方向餘(yu) 弦及其傍軸近似
在均勻介質中，一條射線，簡單的表示式就是是它的方向餘(yu) 弦。假設我們(men) 有一個(ge) 原點為(wei) O的笛卡爾坐標係，如下圖所示。通過點O，我們(men) 可以畫一條平行於(yu) 指定方向的射線的線。讓我們(men) 在這條經過O的平行線上任意選擇一個(ge) 點P，並將直線OP分別投影到x、y、z軸上的點A、B、C。則所要指定的射線的三個(ge) 方向餘(yu) 弦分量定義(yi) 為(wei) (L，M，N)
注意，在任意射線的三個(ge) 方向餘(yu) 弦分量中，隻有兩(liang) 個(ge) 分量是相互獨立的，因為(wei) 我們(men) 有下麵這個(ge) 關(guan) 係
由上式可得
假設z軸是光軸，同時假設要指定的射線位於(yu) 靠近z軸的近軸區域。近軸光學或一階光學的區域的定義(yi) 是光線足夠靠近光軸，以確保光線角度和高度(L,M,x，y)是一階標準下的小數，對於(yu) 變形光學係統的所有表麵，其平方和向量積都是可以忽略的。
在近軸區域，由於(yu) L和M很小，我們(men) 可以將上述方程展開為(wei) 二項式級數
對於(yu) 一階近似，可以忽略上述方程中的二次項，得到N=1，OC=OP。
因此，在近軸區域我們(men) 的第①個(ge) 等式可以變成如下：
這裏，
分別是OP’,OP”投影對於(yu) 光軸z的夾角的正切值。
由上述討論，我們(men) 可以得出以下結論:在近軸區域，任何射線的方向餘(yu) 弦等於(yu) z軸形成的角度的正切和該射線在各自的x-z和y-z截麵上的投影。
因此，傍軸近似條件是
通常采用線性近似的方法對傍軸光線進行建模。若傍軸光線與(yu) 光軸之間形成的入射角為(wei) θ,由於(yu) 
，sinθ和cosθ可被線性化。即根據線性近似方法，
該近似結果成為(wei) 設計透鏡的理論工具之一。
相關(guan) 文獻：
《幾何光學 像差 光學設計》（第三版）——李曉彤 岑兆豐(feng)
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