在光學係統中，如果我們(men) 想要追跡任意光線，我們(men) 需要兩(liang) 個(ge) 最基本的三維方程，那就是傳(chuan) 遞方程和折射方程。
變形係統係列（三）-三維射線傳(chuan) 輸和折射方程
在光學中，要在係統中追蹤任意光線，我們(men) 需要兩(liang) 個(ge) 基本的三維方程:傳(chuan) 遞方程和折射方程。
射線從(cong) 表麵j-1到下麵的表麵j的傳(chuan) 遞方程為(wei)
這裏
分別是射線與(yu) 前一個(ge) 曲麵j−1和下一個(ge) 曲麵j相交的點。
為(wei) 兩(liang) 個(ge) 曲麵頂點之間的軸上距離，
為(wei) 兩(liang) 個(ge) 曲麵之間的射線方向餘(yu) 弦，如下圖所示。
由斯涅爾定律推導出三維射線折射方程。
斯涅爾定律指出，入射光線和折射光線在入射點與(yu) 表麵法線共麵，它們(men) 之間的關(guan) 係為(wei)
這裏n，n'是材料在折射麵前後的折射率，I，I'是入射光線和折射光線與(yu) 表麵法線的夾角。
斯涅爾定律可以寫(xie) 成向量形式
這裏，r，r'是沿入射射線和折射射線的單位向量，而n是沿入射點表麵法線的單位向量。通過在斯涅爾定律將兩(liang) 邊矢量都相乘n，我們(men) 得到
利用矢量恒等式
我們(men) 可以將上式改寫(xie) 為(wei)
設(L，M，N)，(L’，M’，N’)和(α,β,γ)分別作為(wei) r，r'和n的分量，可將其展開為(wei) 標量形式，使這些量為(wei) 方向餘(yu) 弦，給出
此處
在這裏引入折射算符Δ通常比較方便，它表示所作用的量的折射，即
如果Δ後麵的量在折射上是一個(ge) 常數，那麽(me) 我們(men) 會(hui) 得到0。將拉格朗日不變量
作為(wei) 一個(ge) 常見的例子，我們(men) 將有
因為(wei) 
是折射上的常數。
那麽(me) 利用折射算符，我們(men) 可以將上式改寫(xie) 為(wei)
假設射線被表麵j折射。利用上述兩(liang) 個(ge) 方程組，同時注意到
我們(men) 可以將j麵上的射線折射方程寫(xie) 成
這裏
是表麵
法線的方向餘(yu) 弦。
以上就是我們(men) 經常在工作中使用的射線折射公式和射線傳(chuan) 遞方程。
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