本文通過之前講的高階雙曲麵及其曲麵法線的方向餘(yu) 弦的公式來推導在近軸近似時，雙曲麵的一般式及其曲麵法線的方向餘(yu) 弦。
變形係統係列（六）-變形成像的理想(一階)圖像模型
現在讓我們(men) 看看變形係統能提供什麽(me) 樣的圖像。為(wei) 此，我們(men) 將為(wei) 變形係統的理想行為(wei) 定義(yi) 一個(ge) 圖像模型。這個(ge) 模型很重要，因為(wei) 它可以通過建立一個(ge) 參考來簡化對這種係統的描述。模型應該與(yu) 變形係統理想的現象一致，並且可以足夠簡單的觀察到。
滿足上述標準的光學圖像幾何模型將用來解釋圖像的主要特征。偏離理想像的的細節可以簡單地用一個(ge) 依於(yu) 孔徑(光闌)和視場(物體(ti) )變量的函數來描述。這個(ge) 函數稱為(wei) 像差函數，用泰勒級數表示，級數中的每一項表示一種特定類型的偏離理想像的現象，稱為(wei) 像差。
為(wei) 了構建我們(men) 理想的成像模型，我們(men) 將遵循Abbe的共線映射在兩(liang) 個(ge) 空間之間:物方空間和像方空間。共線映射具有以下性質
1) 每個(ge) 物點將被映射到一個(ge) 唯一的像點;
2) 每個(ge) 物麵將被映射到一個(ge) 唯一的像麵。
由1)和2)我們(men) 可以得到，每條物方光線線都將被映射成一條唯一的像方光線。這個(ge) 結果是根據兩(liang) 個(ge) 平麵的交點產(chan) 生直線得出的。
由於(yu) 成像係統幾乎執行這些功能，我們(men) 將假設它們(men) 的現象，包括變形係統，可以用共線映射來描述。
在共線映射中，將物體(ti) 空間中的點P（x，y，z）與(yu) 像空間中的點P '（x’，y’，z’）聯係起來的表達式為(wei)
空間變量x,y,z和x’,y’,z’是笛卡爾坐標係中的位置，參數a、b、c、d是常數。
由於(yu) 變形係統具有雙平麵對稱性，我們(men) 選擇z軸和z’軸沿兩(liang) 個(ge) 對稱平麵的交點作為(wei) 光軸，因此每個(ge) 曲麵都將以它為(wei) 中心。我們(men) 也讓x’軸平行於(yu) x軸，而y’軸平行於(yu) y軸。通過這種方式，我們(men) 可以在兩(liang) 個(ge) 空間中組成我們(men) 的坐標係。唯一尚未確定的是坐標原點的位置。
我們(men) 現在可以利用雙平麵對稱條件來簡化上述共線映射方程。根據上麵的公式一，從(cong) 雙平麵對稱性要求出發，當x不變而y改變符號時，x’不變。對x和y的所有值都成立，隻要
。由於(yu) 雙平麵對稱性，當x改變符號時，x’也必須改變符號，因此
。對於(yu) 上麵的公式二，我們(men) 同樣可以證明
。從(cong) 公式三中，我們(men) 注意到，由於(yu) 對稱性，當x和y改變符號時，z’不改變(z’獨立於(yu) x和y)，這時需要
。考慮到所有這些要求，上麵三式可簡化為(wei)
通過將常數
提出來並重新定義(yi) 常數，我們(men) 得到
上式就是變形係統的理想(一階)圖像模型。從(cong) 這個(ge) 模型中，我們(men) 知道除非
，不然成像是變形的。而x方向上的放大倍數為(wei)
y方向的放大倍數為(wei)
這兩(liang) 個(ge) 放大倍數的比值通常稱為(wei) 係統的畸變比
因此，我們(men) 證明了在滿足共線映射條件的情況下，變形係統確實可以形成變形圖像。我們(men) 應該記住，在上麵的化簡中，我們(men) 沒有對坐標原點在兩(liang) 個(ge) 空間中的位置做任何限製，兩(liang) 個(ge) 空間中的原點並不一定相互共軛。
上述開發的理想圖像模型的一般特征是在一個(ge) 變形圖像中允許點對點映射的。
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《幾何光學 像差 光學設計》（第三版）——李曉彤 岑兆豐(feng)
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