本文通過之前講的高階雙曲麵及其曲麵法線的方向餘(yu) 弦的公式來推導在近軸近似時，雙曲麵的一般式及其曲麵法線的方向餘(yu) 弦。
變形係統係列（五）-近軸近似的雙曲麵及其曲麵法線
在我們(men) 之前的討論中一般雙曲麵的四階近似矢高方程方程如下
而這次我們(men) 討論的是一般雙曲麵方程的近軸近似及其曲麵法線的方向餘(yu) 弦。
通過忽略高於(yu) 3階的項，我們(men) 可以將如上的一般的雙曲率曲麵矢高方程重寫(xie) 為(wei)
這個(ge) 方程表明矢高z是在x和y中的一個(ge) 二階量，且此處的x和y是在一階近似下可以忽略的，所以在近軸近似的區域，我們(men) 可以得到
這意味著在近軸近似的區域，表麵矢高可以忽略不計。
但是，我們(men) 仍然需要記住的是，即使在近軸域表麵矢高可以取為(wei) 零，但其表麵仍然擁有曲率，因此它依舊擁有折射光線的能力，因此我們(men) 在計算曲麵法線在近軸區域的餘(yu) 弦方向上不能直接使它為(wei) 0，而是需要使用上麵忽略高於(yu) 3階項的一般式。
為(wei) 求曲麵法線在近軸區域的方向餘(yu) 弦，可將上麵忽略高於(yu) 3階項的一般式改寫(xie) 為(wei)
將上述二階曲麵方程代入我們(men) 之前求得的一般曲麵法線的方向餘(yu) 弦的式中，
並且忽略x和y中任何高於(yu) 1階的項，我們(men) 就可以得到一般雙曲麵在近軸區域的三個(ge) 法向量為(wei) 如下公式
而其中
是曲率，是兩(liang) 個(ge) 主要部分。
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